|
|
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ dim.
Напомним, что система подмножеств
Кратностью покрытия Cформулируем понятие топологической размерности, восходящее к работам Брауэра, Урысона, Менгера.
Рассмотрим для простоты компакт, т.е. замкнутое ограниченное
множество. Каждый компакт при
Определение. Топологической размерностью
Наглядный смысл этого определения довольно прост. Например, при
Другим подходом к понятию размерности является идея Хаусдорфа.
|
топологического
пространства 
называется его покрытием, если каждая точка
принадлежит какому-то из множеств (хотя бы
одному) 
, т.е.
. Будем рассматривать сейчас лишь конечные покрытия.
называется наибольшее из таких
чисел 
- целое неотрицательное число
,
что существует 
элементов покрытия 
имеющих непустое
пересечение (т.е. всегда существует хотя бы (по крайней мере) одна
точка, принадлежащая 
различным элементам покрытия - всем этим
одновременно).
допускает
-покрытие, т.е. может быть представлен в виде
объединения конечного числа замкнутых множеств, каждое из которых
имеет диаметр 
. Или из любого открытого его покрытия
всегда можно выбрать конечное подпокрытие (система множеств
называется подпокрытием, если
хотя бы
одному 
).
или
компакта 
называется наименьшее из таких целых чисел 
,
что во всякое открытое покрытие пространства 
можно вписать
замкнутое подпокрытие кратности 
. Если таких чисел нет,
то полагается
.
Топологическая размерность называется также брауэровской
размерностью или просто размерностью.
оно утверждает, что всякая двумерная ''площадка'' может быть
вымощена сколь угодно мелкими камнями (замкнутыми множествами)
так, что камни примыкают друг к другу не более чем по три
(рис.). В тоже время эта площадка не может быть вымощена сколь
угодно мелкими камнями так, чтобы были только примыкания по два.
При заполнении некоторого трехмерного объема достаточно мелкими
камнями (например кирпичной кладкой) необходимо возникают уже
примыкания по четыре.
