|
|
Так что же такое фрактал? Парадоксально, но общепринятого точного определения этого понятия не существует. Сам термин ''фрактал'' происходит от латинского слова fractus (сломанный, разбитый), от которого происходят и термины fraction, fractional - дробь, дробный. С математической точки зрения фрактал - это, прежде всего, множество с дробной размерностью. Фрактал по первому определению Мандельброта - это множество, хаусдорфова размерность которого превосходит его топологическую размерность. По второму определению фрактал это геометрическая структура, части фрагменты которой в какой-то мере подобны cамой структуре. Можно также сказать, что математическое понятие фрактала выделяет объекты, обладающие структурами различных масштабов, как больших, так и малых, и, таким образом, отражает иерархический принцип организации материи в природе. В основе этого понятия содержится одна важная идеализация действительности: фрактальные объекты самоподобны, т.е. их вид не претерпевает существенных изменений при разглядывании их в микроскоп с любым увеличением. Однако по любому из предложенных определений невозможно представить что такое фрактал. Это тот случай, когда рассмотрение понятия лучше начинать не с его определения, а с рассмотрения конкретных примеров. Позднее можно вернуться к определению.
Мы знаем, что линия имеет одно измерение, поверхность двумерна, а
пространственная фигура трехмерна. Фрактал же - это не линия и не
поверхность, а, если так можно выразиться, что-то среднее. Квадрат
со стороной
Заметим, что связь между хаосом и фракталами далеко не случайна -
она выражает их глубокую общность. Вопрос этот связан прежде всего
с одной из интенсивно развивающихся в последние 40 лет областей
науки - динамическим хаосом. Так уравнения, детерминированные
системами с динамическим хаосом нередко приводят к хаотическим
решениям, хаотическим в смысле крайней неустойчивости, при которой
малейшая неточность при задании начальных данных настолько сильно
влияет на динамику системы, что ее поведение становится фактически
непредсказуемым. При этом оказалось, что фракталы, как
геометрические понятия, могут быть успешно применены при описании
траекторий хаотических систем. Более того, можно сказать, что
фракталы - геометрические образы хаоса, а фрактальная геометрия
- геометрия хаоса, беспорядка. Таким образом, ключевыми понятиями
теории фракталов являются дробная размерность и масштабное
самоподобие. Существуют их математически строгие определения.
|
- фигура на двумерной плоскости, имеет площадь
, объем трехмерного куба с ребром 
равен 
, а
-мерного гиперкуба - 
. Размерность объекта (показатель
степени) показывает, по какому закону растет его внутренняя
область. Аналогичным образом с ростом размеров возрастает
''объем'' фрактала, но его размерность - величина не целая, а
дробная. Поэтому граница фрактальной фигуры не линия: при большом
увеличении становится видно, что она размыта и вся состоит из
спиралей и завитков, повторяющих в малом масштабе саму фигуру.
Такая геометрическая регулярность называется масштабной
инвариантностью или масштабным самоподобием, скейлингом (от англ.
scaling). Она-то и определяет дробную размерность фрактальных
фигур. Жидкость, газ, твердое тело - три привычных для нас
состояния однородного вещества, существующего в трехмерном мире.
Но какова размерность облака или клуба дыма, точнее их границ,
размываемых турбулентным движением воздуха? Оказалось, что она
больше двух, но меньше трех. Аналогичным образом можно подсчитать
реальных объектов, вроде береговой линии или кроны дерева.
Кровеносная система человека, например, имеет размерность порядка
2,7. Все объекты с нечеткой, неупорядоченной, хаотичной,
изломанной структурой оказались фракталами или состоящими из
фракталов.
