ГЛАВА 8

Рассмотрим некоторое отображение, задаваемое формулой:

$\begin{displaymath}f(z)=z^2+c, \mbox{где} z,c\in C,\eqno(1)\end{displaymath}$

и проведем итерационный процесс с некоторыми начальными данными

. Характер процесса зависит именно от них.

Возьмем . Тогда в зависимости от возможны три сценария:

1. Числа получаются все меньшими, их последовательность стремится к нулю, который является аттрактором процесса. Все точки на расстоянии меньше 1 от 0 движутся к нему.

2. Числа становятся все больше. $z=\infty$ является аттрактором. Точки на расстоянии больше 1 от 0 удаляются в бесконечность.

3. Точки продолжают находится на расстоянии 1 от 0. Их последовательность лежит на границе раздела двух областей притяжения - окружности с центром в точке .

Для различных параметров получаем различное число аттракторов и разнообразие границ раздела их областей притяжения.

Границы областей притяжения и сами области в этом случае фрактальны и являются т.н. множествами Жюлиа (рис.4.3).

В общем случае для функции, представляющей собой полином комплексного переменного:

$\begin{displaymath}f(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0, \mbox{где } a_i\in C\eqno(3)\end{displaymath}$

множество Жюлиа определяется так.

Множеством Жюлиа функции называется множество

$\begin{displaymath}J(f)=\partial\{z\vert f^n(z)\to\infty, \mbox{при } n\to\infty\}.\eqno(4)\end{displaymath}$

Таким образом, множество Жюлиа функции есть граница множества точек , стремящихся к $\infty$ при итерировании . Множество названо в честь французского математика Гастона Жюлиа (1893-1978).

Множества значений параметра при каждом фиксированном также фрактальны и являются (называются) множествами Мандельброта(рис.4.2).

В центре внимания оказывается природа границ между различными областями. Можно представить себе центры - аттракторы, которые ведут борьбу за влияние на плоскости; любая начальная точка в течение процесса либо приходит к тому или другому центру, либо лежит на границе и не может принять определенное решение. С изменением параметра изменяются и области, принадлежащие аттракторам, а вместе с ними и границы; может случится, что граница превратится в пыль (т.н. пыль Фату), и такой распад представляет собой один из наиболее возможных сценариев.

ГЛАВА 7

НАВЕРХ

ГЛАВА 9