ГЛАВА 8

Фракталы естественным образом возникают при комплексных преобразованиях плоскости, сопоставляющих одному комплексному числу другое комплексное число. К примеру, рассмотрим комплексный полином степени . Его можно трактовать как комплексное преобразование плоскости - отображение $f: C\to C$ , задаваемое формулой . Это отображение можно итерировать, рассматривая бесконечную последовательность степеней , т.е. , где

$\begin{displaymath}f_n(z)=f(f_{n-1}(z))=f(f(\dots (f(z)))).\eqno(1)\end{displaymath}$

Пусть

- произвольная точка плоскости. Применяя к ней бесконечную последовательность преобразований

мы получаем бесконечную последовательность точек $z, f(z),\\ f^2(z),\dots, f^n(z),\dots$ Другими словами, мы рассматриваем орбиту точки

при действии на нее итерациями отображения

. Удобно рассматривать пополненную комплексную плоскость $\bar{C}$ (сферу Римана). Тогда бесконечная последовательность точек обязательно имеет предельные точки на сфере.

Мы скажем, что некоторое подмножество $Q\in \bar{C}$ инвариантно относительно отображения , если оно переходит в себя при действии всех итераций $f^n, n=[\overline{1,\infty})$ . Оказывается, такие множества часто являются фракталами.

Т.к. - комплексный полином, то отображение всегда имеет неподвижные точки. Они определяются, как корни уравнения , т.е. . Если степень полинома равна , то это уравнение имеет ровно корней (некоторые корни могут быть кратными). Корни изображаются точками $z_1, z_2,\dots,z_k$ на $\bar{C}$ . Пусть в какой-то из этих точек выполнено неравенство $\left\vert\displaystyle\frac{df(z_i)}{dz}\right\vert<1$ . Тогда отображение является сжимающим в этой точке, т.е. корень является точкой притяжения других точек. Можно далее рассмотреть на плоскости область притяжения корня , т.е. совокупность точек для которых $\lim_{n\to\infty}f^n(z)=z_i$ . Область начальных значений, из которых итерации приводят к одному и тому же корню называется бассейном корня. Оказывается такие множества также часто являются фракталами. Множество $\{z\vert\lim_{n\to\infty}\vert f^n(z)\vert=\infty\}$ - область притяжения бесконечно удаленной точки - тоже фрактал.

ГЛАВА 7

НАВЕРХ

ГЛАВА 9