ГЛАВА 4

Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т.д. Теоретически, элемент ''разветвление'' повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше. То же самое можно заметить, разглядывая фотографию горного рельефа. Так появляется характерное для фракталов свойство самоподобия. Даже в случае достаточно сложных фракталов, таких, как граница множества Мандельброта, когда чистое самоподобие отсутствует, имеется почти полное повторение базовой формы во все более и более уменьшенном виде.

Как уже упоминалось, во многих работах по фракталам самоподобие используется в качестве определяющего свойства.

Рассмотрим, к примеру, отрезок прямой конечной длины. Разделим отрезок на равных частей. Тогда каждую часть можно считать копией всего отрезка, уменьшенной в раз. Очевидно, и связаны соотношением $N\cdot r=1$ (рис.1.4). Если квадрат разбить на равных квадратов (с площадью, в раз меньше площади исходного), то соотношение запишется как $N\cdot r^2=1$ . Если куб разбить на равных кубов (с объемом, в раз меньше объема исходного), то соотношение примет следующий вид: $N\cdot r^3=1$ . Заметим, что размерность объекта, будь то отрезок, квадрат или куб, проявляется как степень в соотношении между числом равных подобъектов, и коэффициентом подобия . А именно:

$\begin{displaymath}N\cdot r^d=1. \eqno(13)\end{displaymath}$

Множества, построенные на рисунке обладают целой размерностью. Зададимся вопросом, возможно ли такое построение, при котором показатель

в равенстве (1) не являлся целым, то есть такое, что при разбиении исходного множества на

непересекающихся подмножеств, полученных масштабированием оригинала с коэффициентом

, значение

не будет выражаться целым числом. Ответ, как мы убедимся, - да! Такое множество называют самоподобным фракталом. Величину

называют фрактальной размерностью или размерность подобия. Явное выражение для

через

находится логарифмированием обеих частей:

$\begin{displaymath}d=\displaystyle\frac{\log N}{\log \displaystyle\frac1r}.\eqno(14)\end{displaymath}$

Логарифм можно взять по любому положительному основанию, отличному от единицы, например $e=2,7183\dots$ Нетрудно показать, что

есть известная нам размерность Хаусдорфа-Безиковича.

Дадим теперь строгое определение самоподобия.

Определение. Будем называть компактное множество самоподобным, если существуют такие преобразования подобия $S_1,S_2,\dots,S_n$ , что имеет место представление:

$\begin{displaymath}A=S_1(A)\cup S_2(A)\cup\dots\cup S_N(A).\eqno(15)\end{displaymath}$

Причем множества имеют мало общих точек.
Теорема. Пусть

- самоподобное множество, то есть выполняется (3), причем

попарно не пересекаются. Обозначим через

единственное решение уравнения:

$\begin{displaymath}{r_1}^d+{r_2}^d+\cdots+{r_N}^d=1,\eqno(16)\end{displaymath}$

где

- коэффициенты подобия. Тогда, если

, то размерность Хаусдорфа множества

равна:

$\begin{displaymath}d_H(A)=d.\end{displaymath}$

Доказательство. Выберем такое малое положительное число $\varepsilon_0$ , чтобы дилатации $S_1(A)+\varepsilon_0,S_2(A)+\varepsilon_0,\dots,S_N(A)+\varepsilon_0$ попарно не пересекались. Обозначим через $N(A,\varepsilon)$ число шаров радиуса $\varepsilon$ , необходимых для того, чтобы покрыть множество . Для $\varepsilon<\varepsilon_0$ имеем:

$\begin{displaymath}N(A,\varepsilon)=N(S_1(A),\varepsilon)+N(S_2(A),\varepsilon)+\cdots+N(S_N(A),\varepsilon).\eqno(17)\end{displaymath}$

Так как

есть преобразование подобия с коэффициентом

, то ${S_i}^{-1}$ преобразует $\varepsilon$ -покрытие множества

в $\left(\displaystyle\frac1{r_i}\cdot\varepsilon\right)$ -покрытие множества

. Следовательно,

$\begin{displaymath}N(S_i(A),\varepsilon)=N(A,\displaystyle\frac1{r_i}\varepsilon).\eqno(18)\end{displaymath}$

Перепишем (17) в виде:

$\begin{displaymath}N(A,\varepsilon)=N(A,\displaystyle\frac1{r_1}\varepsilon)+ N(... ...lon)+ \cdots+N(A,\displaystyle\frac1{r_N}\varepsilon).\eqno(19)\end{displaymath}$

С использованием (8):

$\begin{displaymath}c\varepsilon^{-d}=c{r_1}^d\varepsilon^{-d}+\cdots+c{r_N}^d-\varepsilon^{-d}\eqno(20),\end{displaymath}$

где

. Разделив на $c\varepsilon^{-d}$ , получим уравнение (4).
Следствие. Если все коэффициенты подобия в теореме равны между собой, то есть $r_i=r, i=1,2,\dots,N$ , то размерность Хаусдорфа множества

определяется из уравнения:

$\begin{displaymath}N\cdot r_d=1.\eqno(21)\end{displaymath}$

Если все коэффициенты подобия

преобразований

соответственно, лежат в интервале

$\begin{displaymath}A=S_1(A)\cup S_2(A)\cup\dots\cup S_N(A),\end{displaymath}$

то решение уравнения (4) называется размерностью подобия множества

. При этом не требуется, чтобы множества

не пересекались.

Конечно, хотелось бы распространить теорему и на такие множества, в представлении (3) которых множества могли бы иметь общие точки. Например, в случае ковра Серпинского вершины центральных треугольников принадлежат сразу двум смежным треугольникам. Эти пересечения, очевидно, незначительны и не должны влиять на размерность всей фигуры. Можно доказать, что достаточным условием применимости теоремы является равенство нулю -меры Хаусдорфа пересечений, где - размерность подобия . Это условие выполняется всегда, когда множества имеют лишь конечное или счетное число общих точек.

Таким образом, мы называем компактное множество самоподобным, если оно представимо в виде (3) и -мера Хаусдорфа всех попарных пересечений множеств равна нулю, где - размерность подобия .

ГЛАВА 3

НАВЕРХ

ГЛАВА 5