ГЛАВА 3

 

 

СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ

 

 

О РАЗМЕРНОСТЯХ

 

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ

РАЗМЕРНОСТЬ

 

РАЗМЕРНОСТЬ ХАУСДОРФА

 

РАЗМЕРНОСТЬ

МИНКОВСКОГО

 

КЛЕТОЧНАЯ

РАЗМЕРНОСТЬ

 

РАЗМЕРНОСТИ

РЕНЬИ

 

ИНФОРМАЦИОННАЯ

РАЗМЕРНОСТЬ

 

КОРРЕЛЯЦИОННАЯ

РАЗМЕРНОСТЬ

 

МАССОВАЯ 

РАЗМЕРНОСТЬ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ dim.

 

       Напомним, что система подмножеств $\{U_i\}$ топологического пространства $X$ называется его покрытием, если каждая точка $x\in
X (\forall x\in X)$ принадлежит какому-то из множеств (хотя бы одному) $U_i$, т.е. $\forall x\in X$ $\exists U_i\in \{U_i\}\vert x\in
U_i$. Будем рассматривать сейчас лишь конечные покрытия.

Кратностью покрытия $\{U_i\}$ называется наибольшее из таких чисел $n$ $(n\in\{0\}\cup N$ - целое неотрицательное число$)$ , что существует $n$ элементов покрытия $\{U_i\}$ имеющих непустое пересечение (т.е. всегда существует хотя бы (по крайней мере) одна точка, принадлежащая $n$ различным элементам покрытия - всем этим $\{U_j\} (j=\overline{1,n})$ одновременно).

Cформулируем понятие топологической размерности, восходящее к работам Брауэра, Урысона, Менгера.

Рассмотрим для простоты компакт, т.е. замкнутое ограниченное множество. Каждый компакт при $\forall\varepsilon>0$ допускает $\varepsilon$-покрытие, т.е. может быть представлен в виде объединения конечного числа замкнутых множеств, каждое из которых имеет диаметр $<\varepsilon$. Или из любого открытого его покрытия всегда можно выбрать конечное подпокрытие (система множеств $\{V_j\}$ называется подпокрытием, если $\forall V_j\in$ хотя бы одному $U_i\in\{U_i\}$).

Определение. Топологической размерностью $d_T$ или $dim$ компакта $X$ называется наименьшее из таких целых чисел $n$, что во всякое открытое покрытие пространства $X$ можно вписать замкнутое подпокрытие кратности $\leq n+1$. Если таких чисел нет, то полагается $dim X\stackrel{\mathrm{def}}{=}+\infty$. Топологическая размерность называется также брауэровской размерностью или просто размерностью.

Наглядный смысл этого определения довольно прост. Например, при $n=2$ оно утверждает, что всякая двумерная ''площадка'' может быть вымощена сколь угодно мелкими камнями (замкнутыми множествами) так, что камни примыкают друг к другу не более чем по три (рис.). В тоже время эта площадка не может быть вымощена сколь угодно мелкими камнями так, чтобы были только примыкания по два. При заполнении некоторого трехмерного объема достаточно мелкими камнями (например кирпичной кладкой) необходимо возникают уже примыкания по четыре.

 

Другим подходом к понятию размерности является идея Хаусдорфа.

 

 




  Главная - Введение - Основные понятия - Размерности - Самоподобие

Л-системы - СИФ (IFS) - Мультифракталы - Комплексная динамика - Фракталы и хаос

Чтиво - Фракталы в Интернете - Программы - Галерея - Скачать - В заключение


 

Copyright © 2002-2004

Ринчино Андрей

 

Hosted by uCoz